Latihan Soal Olimpiade Matematika: Teori Bilangan

 

Latihan Soal Olimpiade Matematika: Teori Bilangan

---

1. Ada berapa banyak di antara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9?

Klik untuk Lihat Pembahasan

Ciri bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah digit-digitnya habis dibagi 9.

• 20000002 → 2+0+0+0+0+0+0+2 = 4 (Bukan)
• 20011002 → 2+0+0+1+1+0+0+2 = 6 (Bukan)
• 20022002 → 2+0+0+2+2+0+0+2 = 8 (Bukan)
• 20033002 → 2+0+0+3+3+0+0+2 = 10 (Bukan)

Jawaban: 0 (Tidak ada).

2. Di antara bilangan-bilangan 5256, 7018, 18623, 32571 yang habis dibagi 99 adalah...

Klik untuk Lihat Pembahasan

Bilangan habis dibagi 99 jika habis dibagi 9 dan 11 secara bersamaan.
Ciri habis dibagi 99: Jumlah kelompok dua digit dari belakang harus habis dibagi 99.
Mari cek 32571: 3 + 25 + 71 = 99 (Habis dibagi 99).
Jawaban: 32571.

3. Tentukan jumlah semua nilai c yang memenuhi 948c8 habis dibagi 12.

Klik untuk Lihat Pembahasan

Habis dibagi 12 → Habis dibagi 3 dan 4.
- Habis dibagi 4: Dua digit terakhir (c8) harus habis dibagi 4. Maka c ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.
- Habis dibagi 3: 9+4+8+c+8 = 29+c harus habis dibagi 3.
Jika c=1 (29+1=30, OK), c=4 (29+4=33, OK), c=7 (29+7=36, OK).
Irisan dari kedua syarat adalah c = 4.
Jawaban: 4.

4. Bilangan n terbesar sehingga 8ⁿ habis membagi 44⁴⁴ adalah...

Klik untuk Lihat Pembahasan

44⁴⁴ = (2² × 11)⁴⁴ = 2⁸⁸ × 11⁴⁴.
8ⁿ = (2³)ⁿ = 2³ⁿ.
Agar 2³ⁿ membagi 2⁸⁸, maka 3n ≤ 88.
n ≤ 88/3 ≈ 29,33. Maka n terbesar adalah 29.
Jawaban: 29.

5. Tentukan bilangan n terkecil sedemikian sehingga n! habis dibagi 2014.

Klik untuk Lihat Pembahasan

Faktorisasi prima 2014 = 2 × 19 × 53.
Agar n! habis dibagi 2014, maka n harus minimal sebesar faktor prima terbesarnya agar faktor tersebut muncul dalam perkalian faktorial.
Faktor terbesarnya adalah 53.
Jawaban: 53.

6. Bilangan ABC dan CBA merupakan bilangan tiga digit. Tentukan bilangan prima terbesar yang habis membagi selisih ABC dan BCA?

Klik untuk Lihat Pembahasan

ABC = 100A + 10B + C
BCA = 100B + 10C + A
Selisih: (100A + 10B + C) - (100B + 10C + A) = 99A - 90B - 9C = 9(11A - 10B - C).
Catatan: Ada kemungkinan maksud soal adalah selisih ABC dan CBA (99|A-C|). Jika BCA, maka faktornya bergantung pada nilai A, B, C. Secara umum faktor prima yang pasti ada di angka 9 adalah 3.
Jawaban: 3 (Jika soal merujuk pada faktor universal).

8. Jika a553b adalah bilangan lima digit yang habis dibagi 88. Tentukan a + b.

Klik untuk Lihat Pembahasan

Habis dibagi 88 → Habis dibagi 8 dan 11.
- Habis dibagi 8: 3 digit terakhir 53b habis dibagi 8. 53b = 528 + (b+2). Maka b = 6.
- Habis dibagi 11: (a + 5 + 6) - (5 + 3) = a + 3 harus kelipatan 11. Maka a = 8.
Maka a + b = 8 + 6 = 14.
Jawaban: 14.

10. Diketahui 20! + 17! = 243325769560473yz00. Carilah nilai 10y + z.

Klik untuk Lihat Pembahasan

20! + 17! = 17! (20 × 19 × 18 + 1) = 17! (6841).
Karena 17! mengandung faktor 5³ (dari 5, 10, 15) dan banyak faktor 2, maka 17! berakhir dengan tiga angka nol (000).
Bilangan 20! juga memiliki lebih dari tiga angka nol. Maka jumlahnya pasti berakhiran minimal "000".
Sehingga y = 0 dan z = 0.
Jawaban: 0.